Tak teda když to sem nikdo nechce napsat, tak to sem napíšu :)
Opsal jsem si to z poznámek Vency, je to tedy dvakrát opisované a tudíž dvakrát větší pravděpodobnost chyby..

1.
Ať f:N->N označuje zobrazení určené vztahy:
f(1) = 1, f(2) = 2, f(a) = 3 pro všechna a >= 3
Je ker f kongruence podgrupy N(+)?

2.
Uvažte multiplikativní grupu tělesa Z31, označme ji Z*31. Je tato grupa cyklická? Jestliže ne, proč? Jestliže ano, udejte počet možných generátorů.
(prý říkal, že tohle je strašně lehké a na toho, kdo to neudělá, bude VELICE špatně naladěn... :o))

3.
Uvažte rozkladové těleso polynomu
a) x^4 + 3x^2 + 1 \in Z3[x]
b) totéž \in Z5[x]
Ve kterých případech má vícenásobné kořeny?

4.
Zda permutace (123) a (543) jsou v S5 konjugovány? Ano - nalézt aspoň jednu permutaci, pomocí které lze konjugovat, ne - proč?

5.
Uvažte uspořádání dané Hessovým diagramem

    o          o        o
  / | \      / | \    / | \
  o o o      o o o    o o o
  |X X|      |/ \|    |/ \|
  o o o      o   o    o   o
  \ | /       \ /
    o          o

(Hezké malůvky, že? Snad je to srozumitelné..)
Kdy jde o svaz, distributivní svaz, modulární svaz?

6.
Buď p prvočíslo, a n >= 1 celé číslo. Dokažte, že každá dvě komutativní tělesa jsou izomorfní.


Na trojku tři vyřešené příklady nestačí, čtyři už by mohly. Důkaz bude vždy jen jeden.

Poznámky k řešení:
(některé jsou moje, tak to neberte tak vážně)
1) myslím že ano
2) je cyklická, počet generátorů je roven počtu čísel menších než 30 (Z*31 má 30 prvků) nesoudělných se 30.
3) ještě jsem si nezkusil, Venca tu má poznámku, že se to dělá pomocí derivace
4) mají stejný typ, tak jsou, konjugovat jde (15)(24)(3), jiná mě nenapadá
5) první - je modulární i distributivní, protože je to BA (to nevím co je - Booleova Algebra??? - tak daleko jsem v učení ještě nedošel :o)) pod MN <-???
druhý - je to svaz, ne modulární (v poznámkách co jsem opsal mám, že kvůli tomu, že tam je pentagon - já osobně ho tam teda nevidím.. Možná že tam nemá být uzel úplně vlevo, jak tam jsou tři vedle sebe..)
třetí - není svaz
6) nemáte někdo nápad, jak se to dělá???

Ahoj a hodně štěstí, budeme ho všichni potřebovat.. Pavel.